Question

已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE．

Answer 1

分析：首先在AE上截取AM=AD，連接CM，再證明△AMC≌△ADC，可得∠3=∠D，再根據∠B+∠D=180°，∠3+∠4=180°，可以證出∠4=∠B，根據等角對等邊可證出CM=BC，再根據等腰三角形的性質：等腰三角形底邊上的高線與底邊上的中線重合可得到ME-BE，再利用等量代換可證出AE=AD+BE．

解答：證明：在AE上截取AM=AD，連接CM，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
在△AMC和△ADC中

AC=AC ∠1=∠2 AD=AM

，
∴△AMC≌△ADC（SAS），
∴∠3=∠D，
∵∠B+∠D=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠4=∠B，
∴CM=CB，
∵CE⊥AB，
∴ME=EB（等腰三角形底邊上的高線與底邊上的中線重合），
∵AE=AM+ME，
∴AE=AD+BE．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，關鍵是正確做出輔助線，證出ME=BE．