Question

如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一動點（D點不與B、C兩點重合）．DE∥AC交AB于E點，DF∥AB交AC于F點．
（1）試探索AD滿足什么條件時，四邊形AEDF為菱形，并說明理由；
（2）在（1）的條件下△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF為正方形．為什么？
（3）在（1）、（2）的條件下當BE+CF=時，求證：AD=BD×CD．

Answer 1

解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，要使四邊形AEDF為菱形，則只需一組鄰邊相等或對角線互相垂直即可，
∴當AD⊥EF時，四邊形AEDF為菱形．
（2）要使四邊形AEDF為正方形，則只需在菱形的基礎上，再加一角為直角即可，故△ABC為直角三角形即可滿足條件．
（3）由（1）、（2）可得，四邊形AEDF為正方形，即在直角三角形BED中，根據勾股定理得：BD²=BE²+DE²，同理CD²=DF²+CF²，
又AD=AE=（BE+CF）×AE=BE×AE+CF×AE=BE×ED+CF×FD，
又（BE+ED）²=AB²，（CF+FD）²=AC²，
又三角形ABC中，根據勾股定理得：AB²+AC²=（BD+CD）²，
即（BE+ED）²+（CF+FD）²=（BD+CD）²，
整理得：BE²+DE²+2BE×ED+DF²+CF²+2CF×FD=BD²+CD²+2BD×CD，
即2（BE×ED+CF×FD）=2BD×CD，
∴BE×ED+CF×FD=BD×CD，
即AD=BD×CD．