Question

如圖，設四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以第二個正方形的對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去…．
（1）記正方形ABCD的邊長為a₁=1，依上述方法所作的正方形的邊長依次為a₂，a₃，a₄，…，a_n，求出a₂，a₃，a₄的值．
（2）根據以上規律寫出第n個正方形的邊長a_n的表達式．

Answer 1

分析：（1）求a₂的長即AC的長，根據直角△ABC中AB²+BC²=AC²可以計算，同理計算a₃、a₄．
（2）由（1）知，a₂=

2

a₁，a₃=

2

a₂…，a_n=

2

a_n-1可以找出第n個正方形邊長的表達式．

解答：解：（1）a₂=AC，且在直角△ABC中，AB²+BC²=AC²，
∴a₂=

2

a₁=

2

，
同理a₃=

2

a₂=(

2

)2a₁=2，
a₄=

2

a₃=(

2

)3a₁=2

2

；

（2）由（1）結論可知：
a₂=

2

a₁=

2

，
a₃=

2

a₂=(

2

)2a₁=2，
a₄=

2

a₃=(

2

)3a₁=2

2

；
…
故找到規律
a_n=(

2

)n-1a₁=(

2

)n-1．

點評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了學生找規律的能力，本題中找到a_n的規律是解題的關鍵．