Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PBC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）連接CB，在直線CB上方的拋物線上有一點M，使得△BCM的面積最大，求出M點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）共存在5個點P1（1，3+），P2（1，3-），P3（1，），P4（1，-），P5（1，1），使△PBC為等腰三角形；（3）M（，）．

【解析】

（1）利用待定系數法即可求得解析式；

（2）根據點P在拋物線對稱軸上，可設點P的坐標為（1，m），分三種情況討論，①PC=BC，②PB=BC，③PB=PC，求出m的值后即可得出答案．

（3）設M的坐標為（n，-n2+2n+3），根據S△BCM=S△OBC+S△OCM-S△OBC即可得出△BCM的面積S關于n的函數關系式，進而求得M的坐標．

：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

∵拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．

∴ ，

解得，．

∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

（2）存在，理由如下：

∵拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，

∴拋物線的對稱軸為：x=1，假設存在P（1，m）滿足題意：

討論：

①當PC=BC時，

∵OB=3，OC=3，

∴BC=3，

∴，

解得：m=3±，

∴P1（1，3+），P2（1，3-）；

②當PB=BC時，，

解得：m3=，m4=-，

∴P3（1，），P4（1，-），

③當PB=PC時， ，

解得：m=1，

∴P5（1，1），

綜上，共存在5個點P1（1，3+），P2（1，3-），P3（1，），P4（1，-），P5（1，1），使△PBC為等腰三角形．

（3）如圖，設M的坐標為（n，-n2+2n+3），

∵B（3，0），C（0，3）．

∴OB=3，OC=3，

∴S△OBC=×3×3=，S△OBM=×3×（-n2+2n+3）=（-n2+2n+3），S△OCM=×3×n=n，

∴S△BCM=S△OBM+S△OCM-S△OBC=（-n2+2n+3）+n-=-（n-）2+，

∴當n=時，△BCM的面積最大，最大值是，

∴M（，）．