Question

如圖，菱形ABCD中，AB＝AC，點E、F分別為邊AB、BC上的點，且AE＝BF，連接CE、AF交于點H，連接DH交AC于點O．

（1）△ABF≌△CAE；
（2）HD平分∠AHC嗎？為什么？

Answer 1

（1）根據菱形的性質可得AB＝BC，再結合AB＝AC可得△ABC為等邊三角形，即可得到∠B＝∠CAB＝60°，再結合AE＝BF，AB＝AC即可證得結論；（2）平分

試題分析：（1）根據菱形的性質可得AB＝BC，再結合AB＝AC可得△ABC為等邊三角形，即可得到∠B＝∠CAB＝60°，再結合AE＝BF，AB＝AC即可證得結論；
（2）過點D作DG⊥CH于點G，作DK⊥FA交FA的延長線于點K，由△ABF≌△CAE．可得∠BAF＝∠CAE，即可得到∠CAE＋∠CAF＝60°，則∠AHC＝120°，由∠ADC＝60°，可得∠HAD＋∠HCD＝180°，從而可得∠HCD＝∠KAD，即可證得△ADK≌△CDG，再結合DG⊥CH，DK⊥FA即可得到結論．
（1）∵ABCD為菱形，
∴AB＝BC．
∵AB＝AC，
∴△ABC為等邊三角形．
∴∠B＝∠CAB＝60°．
又∵AE＝BF，AB＝AC，
∴△ABF≌△CAE；
（2）過點D作DG⊥CH于點G，作DK⊥FA交FA的延長線于點K，
∵△ABF≌△CAE．
∴∠BAF＝∠CAE，
∵∠BAF＋∠CAF＝60°，
∴∠CAE＋∠CAF＝60°，
∴∠AHC＝120°，
∵∠ADC＝60°，
∴∠HAD＋∠HCD＝180°，
∵∠HAD＋∠KAD＝180°，
∴∠HCD＝∠KAD，
∵AD＝CD，∠DGC＝∠AKD＝90°，
∴△ADK≌△CDG，
∴DK＝DG，
∵DG⊥CH，DK⊥FA，
∴HD平分∠AHC．
點評：此類問題知識點較多，綜合性較強，是中考常見題，一般難度不大.