Question

求所有正實數a，使得方程x²-ax+4a=0僅有整數根．

Answer 1

分析：設兩整數根為x，y，根據根與系數的關系，則

x+y=a＞0 xy=4a＞0

，從而求出x的最小整數值，再根據判別式求出a的取值范圍即可解答．

解答：解：設兩整數根為x，y，
則

x+y=a＞0 xy=4a＞0

，
∴a=

x2

x-4

，
∵a是正實數，
∴

x2

x-4

＞0，
由于x²≥0，（而a是正實數）
∴x-4＞0，即x＞4，
而x是整數，
∴x最小取5．
又∵原方程有根，
∴△=b²-4ac=a²-4×1×4a=a²-16a≥0，
∵a是正實數，
∴a≥16，
∴當x=5時，a=25＞16，y=20；x=6時，a=18，y=12；x=7時，a=

49

3

，y=

28

3

（y不是整數，故舍去）；x=8時，a=16，y=8．
于是a=25或18或16均為所求．

點評：本題考查了根與系數的關系，難度較大，關鍵是根據根與系數的關系先求出x的最小整數值，再由判別式求出a的取值范圍，分類討論x的值即可得出答案．