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求所有正實數a,使得方程x2-ax+4a=0僅有整數根.
【答案】分析:設兩整數根為x,y,根據根與系數的關系,則,從而求出x的最小整數值,再根據判別式求出a的取值范圍即可解答.
解答:解:設兩整數根為x,y,


∵a是正實數,
>0,
由于x2≥0,(而a是正實數)
∴x-4>0,即x>4,
而x是整數,
∴x最小取5.
又∵原方程有根,
∴△=b2-4ac=a2-4×1×4a=a2-16a≥0,
∵a是正實數,
∴a≥16,
∴當x=5時,a=25>16,y=20;x=6時,a=18,y=12;x=7時,a=,y=(y不是整數,故舍去);x=8時,a=16,y=8.
于是a=25或18或16均為所求.
點評:本題考查了根與系數的關系,難度較大,關鍵是根據根與系數的關系先求出x的最小整數值,再由判別式求出a的取值范圍,分類討論x的值即可得出答案.
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