Question

試比較2006²⁰⁰⁷與2007²⁰⁰⁶的大小．為了解決這個問題，寫出它的一般形式，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（為正整數），從分析n=1、2、3、…這些簡單問題入手，從中發現規律，經過歸納、猜想出結論：
（1）在橫線上填寫“＜”、“＞”、“=”號：
1²______2¹，2³______3²，3⁴______4³，4⁵______5⁴，5⁶______6⁵，…
（2）從上面的結果經過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關系是______；
（3）根據上面猜想得出的結論試比較下列兩個數的大小：2006²⁰⁰⁷______2007²⁰⁰⁶．

Answer 1

解：（1）1²＜2¹，2³＜3²，3⁴＞4³，4⁵＞5⁴，5⁶＞6⁵，…

（2）當n≤2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；
當n＞2時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）2006²⁰⁰⁷＞2007²⁰⁰⁶．
分析：此題中的規律為當n≤2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；當n＞2時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ．
點評：本題是一道找規律的題目，要求學生通過觀察，分析、歸納發現其中的規律，并應用發現的規律解決問題．解決本題的難點在于找到“＜”、“＞”的臨界點．