Question

【題目】問題情景：如圖1，在同一平面內，點和點分別位于一塊直角三角板的兩條直角邊，上，點與點在直線的同側，若點在內部，試問，與的大小是否滿足某種確定的數量關系？

（1）特殊探究：若，則_________度，________度，_________度；

（2）類比探索：請猜想與的關系，并說明理由；

（3）類比延伸：改變點的位置，使點在外，其它條件都不變，判斷（2）中的結論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出，與滿足的數量關系式．

Answer 1

【答案】（1）125，90，35；（2）∠ABP+∠ACP=90°-∠A，證明見解析；（3）結論不成立．∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．

【解析】

（1）根據三角形內角和即可得出∠ABC+∠ACB，∠PBC+∠PCB，然后即可得出∠ABP+∠ACP；

（2）根據三角形內角和定理進行等量轉換，即可得出∠ABP+∠ACP=90°-∠A；

（3）按照（2）中同樣的方法進行等量轉換，求解即可判定.

（1）∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-55°=125度，∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90度，

∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB -（∠PBC+∠PCB）=125°-90°=35度；

（2）猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A；

證明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，

∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，

∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）=180°-∠A，

∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A，

又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，

∴∠PBC+∠PCB=90°，

∴（∠ABP+∠ACP）+90°=180°-∠A，

∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．

（3）判斷：（2）中的結論不成立．

證明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，

∵∠ABC=∠PBC-∠ABP，∠ACB=∠PCB-∠ACP，

∴（∠PBC+∠PCB）-（∠ABP+∠ACP）=180°-∠A，

又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，

∴∠PBC+∠PCB=90°，

∴∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°

或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．