Question

如圖，一塊等腰三角形鋼板的底邊長為80cm，腰長為50cm．
（1）求能從這塊鋼板上截得的最大圓的半徑；
（2）用一個圓完整覆蓋這塊鋼板，這個圓的最小半徑是多少cm？
（3）求這塊等腰三角形鋼板的內心與外心之間距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于三角形ABC是等腰三角形，過A作AD⊥BC于D，那么根據(jù)勾股定理得到AD=30，又從這塊鋼板上截得的最大圓就是三角形的內切圓，根據(jù)內切圓的圓心的性質知道其圓心在AD上，分別連接AO、BO、CO，然后利用三角形的面積公式即可求解；
（2）由于一個圓完整覆蓋這塊鋼板，那么這個圓是三個三角形的外接圓，設覆蓋圓的半徑為R，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求解；
解答：解：（1）如圖，過A作AD⊥BC于D
則AD=30，BD=CD=40，
設最大圓半徑為r，
則S_△ABC=S_△ABO+S_△BOC+S_△AOC，
∴；

（2）設覆蓋圓的半徑為R，圓心為O′，
∵△ABC是等腰三角形，過A作AD⊥BC于D，
∴BD=CD=40，AD==30，
∴O′在AD直線上，連接O′C，
在Rt△O′DC中，
由R²=40²+（R-30）²，
∴R=；

（3）外接圓的圓心為O′，內切圓的圓心為O，
AO′=R=，AO=30-=，
所以OO′==25．
點評：此題分別考查了三角形的外接圓與外心、內切圓與內心、等腰三角形的性質，綜合性比較強，解題的關鍵是熟練掌握外心與內心的性質與等腰三角形的特殊性．