Question

如圖，一塊等腰三角形鋼板的底邊長為80cm，腰長為50cm．
（1）求能從這塊鋼板上截得的最大圓的半徑；
（2）用一個(gè)圓完整覆蓋這塊鋼板，這個(gè)圓的最小半徑是多少cm？
（3）求這塊等腰三角形鋼板的內(nèi)心與外心之間距離．

Answer 1

分析：（1）由于三角形ABC是等腰三角形，過A作AD⊥BC于D，那么根據(jù)勾股定理得到AD=30，又從這塊鋼板上截得的最大圓就是三角形的內(nèi)切圓，根據(jù)內(nèi)切圓的圓心的性質(zhì)知道其圓心在AD上，分別連接AO、BO、CO，然后利用三角形的面積公式即可求解；
（2）由于一個(gè)圓完整覆蓋這塊鋼板，那么這個(gè)圓是三個(gè)三角形的外接圓，設(shè)覆蓋圓的半徑為R，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求解；

解答：解：（1）如圖，過A作AD⊥BC于D
則AD=30，BD=CD=40，
設(shè)最大圓半徑為r，
則S_△ABC=S_△ABO+S_△BOC+S_△AOC，
∴S△ABC=

1

2

×BC×AD=

1

2

(AB+BC+CA)r?r=

40

3

；

（2）設(shè)覆蓋圓的半徑為R，圓心為O′，
∵△ABC是等腰三角形，過A作AD⊥BC于D，
∴BD=CD=40，AD=

502-402

=30，
∴O′在AD直線上，連接O′C，
在Rt△O′DC中，
由R²=40²+（R-30）²，
∴R=

125

3

；
若以BD長為半徑為40cm，也可以覆蓋，
∴最小為40cm．

（3）外接圓的圓心為O′，內(nèi)切圓的圓心為O，
AO′=R=

125

3

，AO=30-

40

3

=

50

3

，
所以O(shè)O′=

125

3

-

50

3

=25．

點(diǎn)評(píng)：此題分別考查了三角形的外接圓與外心、內(nèi)切圓與內(nèi)心、等腰三角形的性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握外心與內(nèi)心的性質(zhì)與等腰三角形的特殊性．