Question

如圖，已知△ABC內接于⊙O，點D在OC的延長線上，∠B=∠D=30°．
（1）AD是⊙O的切線嗎？說明理由；
（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的長；
（3）在（2）的前提下，連接BD，則BD和⊙O及AD有何關系？簡要說明理由．

Answer 1

解：（1）AD是⊙O的切線．
理由：連接AD，
∵∠B=30°，
∴∠AOD=2∠B=60°，
∵∠D=30°，
∴∠OAD=90°，
即OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切線；

（2）∵OD⊥AB，BC=5，
∴AC=BC=5，
∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△AOC是等邊三角形，
∴OA=AC=5，
∵OA⊥AD，∠D=30°，
∴OD=2OA=10，
∴AD==5；

（3）連接OB，
∵OD⊥AB，
∴BE=AE，
∴AD=BD，
在△OBD和△OAD中，
，
∴△OBD≌OAD（SSS），
∴∠OBD=∠OAD=90°，
即OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切線．
分析：（1）首先連接AD，由∠B=∠D=30°，可求得∠AOC=60°，∠OAD=90°，繼而可證得AD是⊙O的切線；
（2）由OD⊥AB，BC=5，根據垂徑定理，可得AC=5，易得△AOC是等邊三角形，可求得OA的長，繼而求得答案；
（3）首先連接OB，易證得OD垂直平分AB，△OAD≌△OBD，繼而證得結論．
點評：此題考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質以及垂徑定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．