Question

(2005·廣東)如圖a，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分別是AD、BC的中心，E、F分別是BM、CM的中心．

(1)求證：四邊形MENF是菱形；

(2)若四邊形MENF是正方形，請探索等腰梯形ABCD的高和底邊BC的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

答案：略
解析：

解　(1)證明：∵四邊形ABCD為等腰梯形， 　　∴AB=CD，∠A=∠D． 　　∵M為AD的中點， 　　∴AM=DM，∴△ABM≌△DCM． 　　∴BM=CM 　　∵E、F、N分別為MB、CM、BC中點， 　　∴， 　　． 　　∴EN=FN=FM=EM． 　　∴四邊形ENFM是菱形． (2)結論：等腰梯形ABCD的高是底邊BC的一半． 　　理由：連接MN，如圖b所示． 　　∵BM=CM，BN=NC， 　　∴MN⊥BC，∵AD∥BC 　　∴MN⊥AD　∴MN是梯形ABCD的高，又已知四邊形MENF是正方形， 　　∴△BMC為直角三角形． 　　又∵N是BC的中點，∴．