Question

如圖，AC是正方形ABCD的對角線，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于點F．
（1）圖中與線段BE相等的所有線段是______；選擇圖中與BE相等的任意一條線段，并加以證明；
（2）若BE=1，求△AEC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）BECF，理由是根據正方形性質得出∠B=90°，∠ACB=45°，根據角平分線性質求出EF=BE，求出∠FEC=∠FCE=45°，推出EF=CF，即可得出答案；
（2）根據勾股定理求出CE，得出BC和AB的值，再根據勾股定理求出AC，根據三角形的面積公式求出即可．
解答：（1）圖中與線段BE相等的所有線段是EF和CF，
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，∠ACB=∠DCB=45°，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，
∴BE=EF，
∵EF⊥AC，
∴∠EFC=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠FEC=45°=∠FCE，
∴EF=FC=BE，
故答案為：EF、CF；

（2）解：∵在Rt△EFC中，BE=EF=CF=1，由勾股定理得：CE==，
∴BC=1+=AB，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==2+，
∴△ACE的面積是×AC×EF=×（2+）×1=1+．
點評：本題考查的知識點有正方形性質、勾股定理、等腰三角形的性質和判定、角平分線性質，能綜合運用性質進行推理和計算是解此題的關鍵，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．