Question

如圖，在正方形ABCD中，點E在邊AB上（點E與點A、B不重合），過點E作FG⊥DE，FG與邊BC相交于點F，與邊DA的延長線相交于點G．
（1）由幾個不同的位置，分別測量BF、AG、AE的長，從中你能發現BF、AG、AE的數量之間具有怎樣的關系？并證明你所得到的結論；
（2）連接DF，如果正方形的邊長為2，設AE=x，△DFG的面積為y，求y與x之間的函數解析式，并寫出函數的定義域；
（3）如果正方形的邊長為2，FG的長為

5

2

，求點C到直線DE的距離．

Answer 1

分析：（1）要尋找3條線段的數量關系，往往采用作輔助線截長或補短的方法，然后找到其中的關系，本題證明三角形全等是關鍵．
（2）由（1）可知DE=FG，∴△DGF的底與高可以關鍵勾股定理用含x的式子表示出來，所以解析式就可以表示出來．
（3）要解決本題，關鍵題意作出輔助線是關鍵，利用三角形的面積公式建立兩個不同的式子是問題解決．

解答：解：（1）BF+AG=AE．

證明：過點F作FH⊥DA，垂足為H，
∵在正方形ABCD中，∠DAE=∠B=90°，
∴四邊形ABFH是矩形，
∴FH=AB=DA，
∵DE⊥FG，
∴∠G=90°-∠ADE=∠DEA，
又∴∠DAE=∠FHG=90°，
∴△FHG≌△DAE，
∴GH=AE，即HA+AG=AE，
∵BF=HA，
∴BF+AG=AE．
（2）∵△FHG≌△DAE，
∴FG=DE=

AD2+AE2

=

4+x2

，
∵S_△DGF=

1

2

FG•DE，
∴y=

4+x2

2

，
∴解析式為：y=

4+x2

2

，定義域為0＜x＜2．

（3）連接CE，作CP⊥DE于P，S_△CDE=

1

2

CD•AD=2，
∴S_△CDE=

1

2

DE•CP=2，
∵DE=FG=

5

2

，

∴

1

2

•

5

2

•CP=2，
∴CP=

8

5

，
∴點C到直線DE的距離為

8

5

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質，根據已知得出∠G=∠DEA，進而得出△FHG≌△DAE是解決問題的關鍵．作輔助線是難點．