Question

如圖，⊙O的直徑AB=15cm，有一條定長為9cm的動弦CD沿弧AMD上滑動（點C與A、點D與B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F，
（1）求證：AE=BF；
（2）在動弦CD滑動的過程中，四邊形CDFE的面積是否為定值？若是定值，請給出證明并求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證：AE=BF，就要從點O向CD作垂線，然后利用垂徑定理和平行線等分線段定理可知AE=BF；
（2）是定值，要求四邊形的面積就要分析這個四邊形是什么形狀的，從圖中可以看出是梯形，那就要利用梯形的計算公式計算，即（上底+下底）×高÷2，從圖中給出的數量關系可知，上底加下底是定值，高也是定值，所以面積是定值．
解答：解：（1）從點O向CD作垂線，垂足為G．
根據垂徑定理可知CG=DG，
又∵CE∥OG∥DF，
∴OG是梯形ECDF的中位線，
∴OE=OF．
∵OA=OB，
∴AE=BF．

（2）四邊形CDFE的面積是定值．理由如下：
過點O作OG⊥CD于G，連接OD．
則DG=CD=4.5cm．
在△OGD中，∠OGD=90°，OD=AB=7.5cm，
根據勾股定理得OG==6cm，則GD=4.5cm．
∵OD、DG是定值，
∴OG是定值．
∵CE∥OG∥DF，G為CD中點，
∴O為EF中點，
①當CD與AB不平行時．
∴OG為梯形CDFE的中位線，
∴CE+DF=2OG=2×6=12cm，
∵梯形的高也是定值9cm，
∴梯形的面積是定值=12×9÷2=54cm²．
②當CD∥AB時，四邊形ECDF是矩形，
OG=EC=FD=6，
∴矩形的面積=6×9=54cm²是定值．
綜上所述，四邊形CDFE的面積是定值．
點評：本題綜合考查了垂徑定理、平行線等分線段定理及勾股定理和梯形的面積公式等知識點．