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精英家教網如圖,⊙O的直徑AB與弦CD(不是直徑)相交于E,E是CD的中點,過點B作BF∥CD交AD的延長線于
點F.
(1)求證:BF是⊙O的切線;
(2)連接BC,若⊙O的半徑為5,∠BCD=38°,求線段BF、BC的長.(精確到0.1)
分析:(1)由垂徑定理可證AB⊥CD,由CD∥BF,得AB⊥BF,則BF是⊙O的切線;
(2)連接AC,由垂徑定理可知
BC
=
BD
,則∠CAB=∠DAB=∠BCD=38°,而AB=10,分別解直角三角形求線段BF、BC的長.
解答:(1)證明:∵直徑AB平分弦CD,
∴AB⊥CD(2分)
∵CD∥BF,
∴AB⊥BF(3分)
∴BF是⊙O的切線;(4分)
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(2)解:解法一:連接AC,∵AB是⊙O的直徑,
∴AB=5×2=10,∠BCA=90°
又∵AB⊥CD,
∴弧BC=弧BD,
∴∠BAC=∠BAF=∠BCD=38°(6分)
在Rt△ABF中,tan∠BAF=
BF
AB
,BF=AB×tan∠BAF=10×tan38°≈7.8(8分)
在Rt△ABC中,sin∠BAC=
BC
AB

∴BC=AB×sin∠BAD=10×sin38°≈6.2(10分)
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解法二:連接BD,∵AB是⊙O的直徑,
∴AB=5×2=10,∠BDA=90°
又∵AB⊥CD,
∴弧BC=弧BD,
∴BC=BD,∠BAD=∠BCD=38°(6分)
在Rt△ABF中,tan∠BAF=
BF
AB

∴BF=AB×tan∠BAF=10×tan38°≈7.8(8分)
在Rt△ABD中,sin∠BAD=
BD
AB

∴BC=BD=AB×sin∠BAD=10×sin38°≈6.2.(10分)
點評:本題考查了切線的判定與性質,垂徑定理,圓周角定理,解直角三角形的知識.關鍵是利用圓周角定理將已知角進行轉化,利用直徑證明直角三角形.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網已知:如圖,⊙O的直徑AB與弦CD相交于E,
BC
=
BD
,⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F.
(1)求證:CD∥BF.
(2)連接BC,若⊙O的半徑為4,cos∠BCD=
3
4
,求線段AD、CD的長.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,⊙O的直徑AB,CD互相垂直,P為  上任意一點,連PC,PA,PD,PB,下列結論:
①∠APC=∠DPE;
 ②∠AED=∠DFA;
CP+DP
BP+AP
=
AP
DP
.其中正確的個數是(  )

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•柳州)如圖,⊙O的直徑AB=6,AD、BC是⊙O的兩條切線,AD=2,BC=
92

(1)求OD、OC的長;
(2)求證:△DOC∽△OBC;
(3)求證:CD是⊙O切線.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,⊙O的直徑AB垂直弦CD于P,且P是半徑OB的中點,CD=6cm,則直徑AB的長是
4
3
cm
4
3
cm

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