Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4．以斜邊AB的中點D為旋轉中心，把△ABC按逆時針方向旋轉α角（0°＜α＜120°），當點A的對應點與點C重合時，B，C兩點的對應點分別記為E，F，EF與AB的交點為G，此時α等于    °，△DEG的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據直角三角形性質求出AC，∠A，根據旋轉性質求出DA=DC，得出等邊三角形ADC，求出∠EDG=60°和DC，求出ED長，求出∠DGE=90°，求出DG和EG，根據三角形的面積公式求出即可．
解答：解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，AC=AB=2，
∵以斜邊AB的中點D為旋轉中心，點A的對應點與點C重合，
∴DA=DC，
∴∠A=∠ACD=60°，
∴△ADC是等邊三角形，
AC=AD=DC=2，∠ADC=60°=∠EDG，
∴DE=CE-CD=4-2=2，∠DGE=90°，
∵∠E=30°，
∴DG=DE=1，
由勾股定理得：GE=，
∴S_△DEG=DG×GE=×1×=．
故答案為：60，．
點評：本題考查了等邊三角形的性質和判定，勾股定理，旋轉的性質，含30度角的直角三角形性質，三角形的面積等知識點的運用，關鍵是求出DG和EG的長，主要考查學生分析問題和解決問題的能力，題目綜合性比較強，難度適中．