Question

【題目】如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，AB為直徑，∠ABC=30°，CD是⊙O的切線，E為AC延長線上一點，ED⊥AB于F．

（1）判斷△DCE的形狀；

（2）設⊙O的半徑為1，且OF=，求證：△DCE≌△OCB．

Answer 1

【答案】（1）△CDE為等腰三角形；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由∠ABC=30°可得∠BAC=60°，結合DE⊥AB，可得∠AED的度數；根據弦切角定理可得∠DCB=60°，再結合∠ACB=90°，從而可得∠DCE的度數；

（2）由（1）的證明過程可得∠ABC=∠OCB=∠DCE=∠CED=30°，要證明△BOC≌△EDC，只要證明BC=CE，接下來由圓半徑為1可得AB的長，結合含30度角直角三角形的性質以及勾股定理可得AC、BC的長，在Rt△AEF中，先求得AF的長，再利用含30度角直角三角形的性質可得AE的長，繼而得到CE的長，從而可證△CDE≌△COB．.

（1）解：∵∠ABC=30°，

∴∠BAC=60°．

又∵OA=OC，

∴△AOC是正三角形．

又∵CD是切線，

∴∠OCD=90°．

∴∠DCE=180°﹣60°﹣90°=30°．

而ED⊥AB于F，

∴∠CED=90°﹣∠BAC=30°．

故△CDE為等腰三角形．

（2）證明：∵CD是⊙O的切線，

∴∠OCD=90°，

∵∠BAC=60°，AO=CO，

∴∠OCA=60°，∵∠DCE=30°．

∴A，C，E三點同線

在△ABC中，

∵AB=2，AC=AO=1，

∴BC==．

∵OF=，

∴AF=AO+OF=．

又∵∠AEF=30°，

∴AE=2AF=+1，

∴CE=AE﹣AC==BC，

而∠OCB=∠ACB﹣∠ACO=90°﹣60°=30°=∠ABC；

故△CDE≌△COB．