Question

5．如圖，在△ABC中，∠ACB-∠B=90°，∠BAC的平分線交BC于點E，∠BAC的外角∠CAD的平分線交BC的延長線于點F，試判斷△AEF的形狀．

Answer 1

分析 由角平分線的定義和鄰補角關系證出∠EAF=90°，再由已知條件和三角形內角和定理以及三角形的外角性質得出∠AEF=45°，即可得出結論．

解答 解：△AEF是等腰直角三角形；理由如下：如圖所示：
∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠FAC=$\frac{1}{2}$∠CAD，
∵∠BAC+∠CAD=180°，
∴∠EAC+∠FAC=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠CAD）=90°，
即∠EAF=90°，
∵∠ACB-∠B=90°，
∴∠ACB=90°+∠B，
∴∠1=90°-∠B=∠B+∠BAC，
∴∠B=$\frac{1}{2}$（90°-∠BAC），
∴∠4=∠B+∠AEF，
∵AE平分∠DAC，
∴∠3=∠4=∠B+∠AEF，
∵∠BAC+∠3+∠4=180°，
∴2（∠B+∠AEF）+∠BAC=2[$\frac{1}{2}$（90°-∠BAC）+∠AEF]+∠BAC=180°，
∴∠AEF=45°，
∴∠AFE=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形．

點評 本題考查了等腰直角三角形的判定、角平分線的定義、三角形內角和定理、三角形的外角性質等知識；本題有一定難度，證出∠AEF=45°是解決問題的關鍵．