Question

如圖，在直角坐標系中，已知A（0，3）、O（0，0）、C（6，0）、D（3，3），點P從C點出發，沿著折線C-D-A運動到達點A時停止，過C點作直線GC⊥PC，且與過O、P、C三點的⊙M交于點G，連接OP、PG、OD．設點P運動路線的長度為m．
（1）直接寫出∠DCO的度數；
（2）當點P在線段CD上運動時，求△OPG的最小面積；
（3）設圓心M的縱坐標為n，試探索：在點P運動的整個過程中，n的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點D作DQ垂直于x軸，如圖所示，由D的坐標得到DQ=OQ=3，由C的坐標得到OC=6，由OC-OQ求出CQ=3，可得出DQ=CQ，再由∠DQC為直角，得到三角形DQC為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質即可確定出∠DCO為45°；
（2）過P作PB垂直于x軸于點B，由∠DCO為45°，得到三角形PBC為等腰直角三角形，即PB=BC，由P運動的路程為m，得到PC=m，利用勾股定理表示出PB與BC，用OC-BC表示出OB，在直角三角形OPB中，利用勾股定理表示出OP²，根據PC與CG垂直，利用90°的圓周角所對的弦為直徑得到PG為圓M的直徑，再利用直徑所對的圓周角為直角，得到PO與OG垂直，同時利用同弧所對的圓周角相等可得出∠PGO=∠PCO=45°，進而確定出三角形OPG為等腰直角三角形，即PO=OG，三角形POG的面積等于兩直角邊乘以的一半，即為OP²，將表示出的OP²代入，可得其面積為關于m的二次函數，其圖象開口向上，有最小值，其對稱軸為直線x=3，且當0＜m≤3時，S_△OPG隨m的增大而減小，利用二次函數的性質即可求出此時S_△OPG的最小值；
（3）由OQ=CQ=DQ，DQ垂直于x軸，得到三角形DOC為等腰直角三角形，即OD=CD，過M作MN垂直于x軸，利用垂徑定理得到N為OC的中點，可得出DN為OC的垂直平分線，連接OM，分兩種情況考慮：（i）當P在DC邊上時，如左圖可知：∠OPC為鈍角或直角，點M在x軸下方（或x軸上），由三角形OPM為等腰直角三角形，可得出OP=OM，表示出OM，又ON為3，利用勾股定理表示出MN²，將（2）得出的OP²代入，得到關于m的二次函數，利用m的范圍即可求出n的范圍；（ii）當點P在AD邊上時，如右圖所示，由圓的半徑相等得到OM=PM，在直角三角形PDM中，由PD=m-3，DM=3-n，利用勾股定理表示出PM²，在直角三角形OMN中，由ON=3，MN=n，利用勾股定理表示出OM²，兩者相等列出關于m與n的關系式，用m表示出n，根據m的范圍即可求出n的范圍，綜上，得到滿足題意的n的范圍．
解答：解：（1）過D作DQ⊥x軸于點Q，如圖所示：
由D（3，3），得到DQ=OQ=3，由C（6，0），得到OC=6，
∴QC=OC-OQ=6-3=3，即DQ=CQ，又∠DQC=90°，
∴△DQC為等腰直角三角形，
∴∠DCO=45°；

（2）過點P作PB⊥x軸于點B，可得△PBC為等腰直角三角形，
∵PC=m，∴PB=BC=m，
在Rt△POB中，OB=OC-BC=6-m，PB=m，
根據勾股定理得：OP²=（m）²+（6-m）²，
∵GC⊥PC，
∴PG為⊙M的直徑，
∴∠POG=90°，又∠OGP=∠PCO=45°，
∴△OPG為等腰直角三角形，
∴PO=OG，
∴S_△OPG=OP•OG=OP²=[（m）²+（6-m）²]=（m-3）²+9，
∵S_△OPG是關于m的二次函數，其圖象開口向上，有最小值，其對稱軸為直線x=3，
∴當0＜m≤3時，S_△OPG隨m的增大而減小，
則m=3時，S_△OPG取得最小值為9；

（3）由題意得：∠ODC=90°，△OPC的外心M必在OC的垂直平分線上，
作MN⊥x軸于點N，則ON=OC=3，可得直線MN經過點D，連接OM．
分兩種情況考慮：
（i）當點P在CD上，即0＜m≤3時，如左圖可知：∠OPC為鈍角或直角，
∴點M在x軸下方（或x軸上），
又由（2）得：OM=OP，ON=3，又OP²=（m）²+（6-m）²，
在Rt△MON中，MN²=OM²-ON²=（OP）²-3²=（m-3）²+9-9=（m-3）²，
∵0＜m≤3，
∴n的取值范圍是：-3＜n≤0；
（ii）當點P在AD上，即3＜m≤3+3時，如右圖，依題意得：MO=PM，
由勾股定理得：ON²+MN²=DM²+PD²，
又ON=3，MN=n，DM=3-n，PD=m-3，
∴3²+n²=（3-n）²+（m-3）²，
整理得：n=（m-3）²，
∵3＜m≤3+3，
∴0＜n≤，
綜上，得到n的取值范圍是：-3＜n≤．
點評：此題屬于圓的綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理，圓周角定理，利用了轉化及分類討論的思想，探討此類問題時要注意各問之間的聯系，下一問要運用上一問的結論．