Question

設n是滿足下列條件的最小正整數，它們是75的倍數且恰有75個正因數因子（包括1和本身），求

n

75

．

Answer 1

分析：先把75化為75=3×5²的形式，可知N必含有質因數3、5，且質因數5的個數至少為2，再根據約數個數公式可知n含有3個不同質因數，次數分別為2、4、4次，即N可表達為：N=x²×y⁴×z⁴，再根據n最小即可得出x、y、z的值，進而可得出答案．

解答：解：∵75=3×5²，
∴n必含有質因數3、5，且質因數5的個數至少為2．
根據約數個數公式75=3×5×5=（2+1）×（4+1）×（4+1）即知，n含有3個不同質因數，次數分別為2、4、4次．
∴n可表達為：n=x²×y⁴×z⁴，
要使n最小，顯然x=5，y=3、z=2，
即n=5²×3⁴×2⁴=25×81×16=32400，
∴

n

75

=5⁰×3³×2⁴=3³×2⁴=432．
故答案為：432．

點評：本題考查的是質因數的分解，熟知約數個數公式是解答此題的關鍵，即如果一個數分解質因數的形式是：M=x^a×y^b×z^c…，則M的約數個數=（a+1）（b+1）（c+1）…