Question

設(shè)n是滿足下列條件的最小正整數(shù)，它們是75的倍數(shù)且恰有75個(gè)正因數(shù)因子（包括1和本身），求

n

75

．

Answer 1

∵75=3×5²，
∴n必含有質(zhì)因數(shù)3、5，且質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)至少為2．
根據(jù)約數(shù)個(gè)數(shù)公式75=3×5×5=（2+1）×（4+1）×（4+1）即知，n含有3個(gè)不同質(zhì)因數(shù)，次數(shù)分別為2、4、4次．
∴n可表達(dá)為：n=x²×y⁴×z⁴，
要使n最小，顯然x=5，y=3、z=2，
即n=5²×3⁴×2⁴=25×81×16=32400，
∴

n

75

=5⁰×3³×2⁴=3³×2⁴=432．
故答案為：432．