Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，連接BD，∠DBC的角平分線BE交DC于點E，現把△BCE繞點B逆時針旋轉，記旋轉后的△BCE為△BC′E′．當線段BE′和線段BC′都與線段AD相交時，設交點分別為F，G．若△BFD為等腰三角形，則線段DG長為（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

先在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD=5，在Rt△ABF中利用勾股定理求出BF=，則AF=4-=．再過G作GH∥BF，交BD于H，證明GH=GD，BH=GH，設DG=GH=BH=x，則FG=FD-GD=-x，HD=5-x，由GH∥FB，得出=，即可求解．

解：在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AB=3，AD=4，

∴BD=5，

在Rt△ABF中，∵∠A=90°，AB=3，AF=4-DF=4-BF，

∴BF2=32+（4-BF）2，

解得BF=，

∴AF=4-=．

過G作GH∥BF，交BD于H，

∴∠FBD=∠GHD，∠BGH=∠FBG，

∵FB=FD，

∴∠FBD=∠FDB，

∴∠FDB=∠GHD，

∴GH=GD，

∵∠FBG=∠EBC=∠DBC=∠ADB=∠FBD，

又∵∠FBG=∠BGH，∠FBG=∠GBH，

∴BH=GH，

設DG=GH=BH=x，則FG=FD-GD=-x，HD=5-x，

∵GH∥FB，

∴ =，即=，

解得x=．

故選：A．