Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，DE⊥DB交AB于點E．
（1）設⊙O是△BDE的外接圓，求證：AC是⊙O的切線；
（2）如果BC=9，AC=12，求⊙O的半徑r．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，由OB=OD和角平分線性質得出∠ODB=∠DBC．推出OD∥BC，得出∠ODC=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）由平行線得出△ADO∽△ACB，推出比例式，代入求出即可．
解答：（1）證明：∵DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圓，
∴BE是⊙O的直徑，點O是BE的中點，
連接OD．
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB．
∵BD為∠ABC的平分線，
∴∠ABD=∠DBC．
∴∠ODB=∠DBC．
∴OD∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ADO=∠C=90°．
∵OD是半徑，
∴AC是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△ABC中，AB==15，
∵OD∥BC，
∴△ADO∽△ACB，
∴=，
∴=，
解得：r=．
點評：本題考查了切線的判定和相似三角形的性質和判定，解（1）的關鍵是求出∠ODC=90°，解（2）的關鍵是得出關于r的方程．