Question

【題目】圖1，拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），頂點為D（1，﹣4），點P為y軸上一動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在y軸的負半軸上是否存在點P，使△BDP是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）如圖2，點在拋物線上，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）點P坐標為（0，﹣）或（0，﹣﹣4）或（0，﹣1）;（3）

【解析】

（1）由已知拋物線頂點坐標為D，設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，再把點A代入即可求得二次項系數a的值，由此即可求得拋物線的解析式；（2）由點B、D坐標可求BD的長．設點P坐標為（0，t），用t表示BP2，DP2．對BP＝BD、DP＝BD、BP＝DP三種情況進行分類討論計算，解方程求得t的值并討論是否合理即可；（3）由點B、C坐標可得∠BCO＝45°，所以過點P作BC垂線段PQ即構造出等腰直角△PQC，可得PQ＝PC，故有MP+PC＝MP+PQ．過點M作BC的垂線段MH，根據垂線段最短性質，可知當點M、P、Q在同一直線上時，MP+PC＝MP+PQ＝MH最小，即需求MH的長．連接MB、MC構造△BCM，利用y軸分成△BCD與△CDM求面積和即得到△BCM面積，再由S△BCM＝BCMH即求得MH的長．

解：（1）∵拋物線頂點為D（1，﹣4），

∴設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，

∵A（﹣1，0）在拋物線上

∴4a﹣4＝0，解得：a＝1

∴拋物線的解析式為y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3

（2）在y軸的負半軸上存在點P，使△BDP是等腰三角形．

∵B（3，0），D（1，﹣4）

∴BD2＝（3﹣1）2+（0+4）2＝20

設y軸負半軸的點P坐標為（0，t）（t＜0）

∴BP2＝32+t2，DP2＝12+（t+4）2

①若BP＝BD，則9+t2＝20

解得：t1＝（舍去），t2＝﹣

②若DP＝BD，則1+（t+4）2＝20

解得：t1＝-4（舍去），t2＝﹣﹣4

③若BP＝DP，則9+t2＝1+（t+4）2

解得：t＝﹣1

綜上所述，點P坐標為（0，﹣）或（0，﹣﹣4）或（0，﹣1）

（3）連接MC、MB，MB交y軸于點D，過點P作PQ⊥BC于點Q，過點M作MH⊥BC于點H

∵x＝0時，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3；

∴C（0，﹣3）；

∵B（3，0），∠BOC＝90°；

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝3

∵∠PQC＝90°

∴Rt△PQC中，sin∠BCO＝＝

∴PQ＝PC,

∴MP+PC＝MP+PQ;

∵MH⊥BC于點H,

∴當點M、P、Q在同一直線上時，MP+PC＝MP+PQ＝MH最小,

∵M（﹣，m）在拋物線上

∴m＝（﹣）2﹣2×（﹣）﹣3＝

∴M（﹣，）

設直線MB解析式為y＝kx+b

∴，

解得： ，

∴直線MB：y＝﹣x+,

∴MB與y軸交點D（0，）,

∴CD＝﹣（﹣3）＝,

∴S△BCM＝S△BCD+S△CDM＝CDBO+CD|xM|＝CD（xB﹣xM）＝××（3+）＝,

∵S△BCM＝BCMH,

∴MH＝=,

∴MP+PC的最小值為.