Question

（2000•河南）關于x的方程x²-（5k+1）x+k²-2=0，是否存在負數k，使方程的兩個實數根的倒數和等于4？若存在，求出滿足條件的k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：把倒數和進行通分整理，等量關系為：倒數和等于4．即+==4．再把兩根關系代入即可．
解答：解：根據題意，得
x₁+x₂=5k+1，x₁×x₂=k²-2．
∵+===4．
∴4k²-8=5k+1．
解得k₁=，k₂=-1．
經檢驗和-1都是方程的根．
當k₁=，k₂=-1，代入方程x²-（5k+1）x+k²-2=0的判別式時，△＞0，
所以存在負數k=-1，滿足條件．
點評：解決本題的關鍵是把所求的代數式整理成與根與系數有關的形式．