Question

如圖，若正△A₁B₁C₁內接于正△ABC的內切圓，則△A₁B₁C₁與△ABC的面積的比值為（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  3

• C．

  1

  4

• D．

  1

  6

Answer 1

分析：由于△ABC、△A₁B₁C₁都是正三角形，因此它們的外心與內心重合；可過O分別作AB、A₁B₁的垂線，連接OA、OA₁；在構建的含特殊角的直角三角形中，用⊙O的半徑分別表示出AB、A₁B₁的長，進而可求出它們的比例關系，進而得出△A₁B₁C₁與△ABC的面積的比值．

解答：解：設圓心為O，AB與圓相切于點D，連接AO，DO，
∵△A₁B₁C₁和△ABC都是正三角形，
∴它們的內心與外心重合；
如圖：設圓的半徑為R；
Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=R；
AO=OD•

DO

tan∠OAD

=

3

R，
即AB=2

3

R；
同理可求得：A₁B₁=

3

R，
∴

A1B1

AB

=

3 R

2 3 R

=

1

2

，
則△A₁B₁C₁與△ABC的面積的比值為：（

1

2

） ²=

1

4

．
故選：C．

點評：此題主要考查了等邊三角形的性質、相似三角形的性質以及正多邊形的內外心重合等知識，得出

A1B1

AB

=

1

2

是解題關鍵．