Question

（2000•安徽）已知：如圖，△ABC是⊙O的內接正三角形，弦EF經過BC的中點D，且EF∥AB，若AB=2，則DE的長是（ ）

A．
B．
C．
D．1

Answer 1

【答案】分析：設AC與EF交于點G，由于EF∥AB，且D是BC中點，易得DG是△ABC的中位線，即DG=1；
易知△CDG是等腰三角形，可過C作AB的垂線，交EF于M，交AB于N；然后證DE=FG，根據相交弦定理得BD•DC=DE•DF，而BD、DC的長易知，DF=1+DE，由此可得到關于DE的方程，即可求得DE的長．
解答：解：如圖．過C作CN⊥AB于N，交EF于M，則CM⊥EF．
根據圓和等邊三角形的性質知：CN必過點O．
∵EF∥AB，D是BC的中點，
∴DG是△ABC的中位線，即DG=AB=1；
易知△CGD是等邊三角形，而CM⊥DG，則DM=MG；
由于OM⊥EF，由垂徑定理得：EM=MF，故DE=GF．
∵弦BC、EF相交于點D，
∴BD•DC=DE•DF，即DE×（DE+1）=1；
解得DE=（負值舍去）．
故選B．
點評：此題主要考查了等邊三角形的性質、垂徑定理、三角形中位線定理、相交弦定理等知識，能夠證得DE、GF的數量關系是解答此題的關鍵．