Question

若a，b，c為△ABC的三邊，且關于x的方程：4x²+4（a²+b²+c²）x+3（a²b²+b²c²+c²a²）=0有兩個相等的實數根，試證△ABC是等邊三角形．

Answer 1

證明：由題得，△=16（a²+b²+c²）²-4×4×3（a²b²+b²c²+c²a²）=0，
所以有，a⁴+b⁴+c⁴-a²b²-a²c²-b²c²=0，2（a⁴+b⁴+c⁴-a²b²-a²c²-b²c²）=0，
得到（a²-b²）²+（b²-c²）²+（c²-a²）²=0，
所以a²-b²=0且b²-c²=0且c²-a²=0，即有a=b=c．
所以△ABC是等邊三角形．
分析：由方程有兩個相等的實數根，得△=16（a²+b²+c²）²-4×4×3（a²b²+b²c²+c²a²）=0，得a⁴+b⁴+c⁴-a²b²-a²c²-b²c²=0，兩邊乘以2，然后進行配方得，（a²-b²）²+（b²-c²）²+（c²-a²）²=0，所以有a=b=c，即△ABC是等邊三角形．
點評：本題考查了一元二次方程根的判別式．當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當△=0時，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，沒有實數根．也考查了因式分解的能力和幾個非負數的和為0的性質．