Question

在Rt△ABC，∠C=90°，D為AB邊上一點，點M、N分別在BC、AC邊上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于點F，NE⊥AB于點E．

（1）特殊驗證：如圖1，若AC=BC，且D為AB中點，求證：DM=DN，AE=DF；

（2）拓展探究：若AC≠BC．

①如圖2，若D為AB中點，（1）中的兩個結論有一個仍成立，請指出并加以證明；

②如圖3，若BD=kAD，條件中“點M在BC邊上”改為“點M在線段CB的延長線上”，其它條件不變，請探究AE與DF的數量關系并加以證明．

Answer 1

考點：

相似形綜合題．

分析：

（1）如答圖1，連接CD，證明△AND≌△CDM，可得DM=DN；證明△NED≌△DFM，可得DF=NE，從而得到AE=NE=DF；

（2）①若D為AB中點，則分別證明△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，由線段比例關系可以證明AE=DF結論依然成立．證法二提供另外一種證明方法，可以參考；

②若BD=kAD，證明思路與①類似；證法二提供另外一種證明方法，可以參考．

解答：

（1）證明：若AC=BC，則△ABC為等腰直角三角形，

如答圖1所示，連接OD，則CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．

在△AND與△CDM中，

∴△AND≌△CDM（ASA），

∴DM=DN．

∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3，

∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，

在△NED與△DFM中，

∴△NED≌△DFM（ASA），

∴NE=DF．

∵△ANE為等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF．

（2）①答：AE=DF．

證法一：由（1）證明可知：△DEN∽△MFD，

∴，即MF•EN=DE•DF．

同理△AEN∽△MFB，

∴，即MF•EN=AE•BF．

∴DE•DF=AE•BF，

∴（AD﹣AE）•DF=AE•（BD﹣DF），

∴AD•DF=AE•BD，∴AE=DF．

證法二：如答圖2所示，過點D作DP⊥BC于點P，DQ⊥AC于點Q．

∵D為AB中點，

∴DQ=PC=PB．

易證△DMF∽△NDE，∴，

易證△DMP∽△DNQ，∴，

∴；

易證△AEN∽△DPB，∴，

∴，∴AE=DF．

②答：DF=kAE．

證法一：由①同理可得：DE•DF=AE•BF，

∴（AE﹣AD）•DF=AE•（DF﹣BD）

∴AD•DF=AE•BD

∵BD=kAD

∴DF=kAE．

證法二：如答圖3，過點D作DP⊥BC于點P，DQ⊥AC于點Q．

易證△AQD∽△DPB，得，即PB=kDQ．

由①同理可得：，

∴；

又∵，

∴，

∴DF=kAE．

點評：

本題是幾何探究與證明綜合題，考查了相似三角形與全等三角形的判定與性質．題中三個結論之間逐級遞進，體現了從特殊到一般的數學思想．