Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．點E與點B在AC的同側，且AE⊥AC．

（1）如圖1，點E不與點A重合，連結CE交AB于點P．設AE=x，AP=y，求y關于x的函數解析式；

（2）是否存在點E，使△PAE與△ABC相似，若存在，求AE的長；若不存在，說明理由；

（3）如圖2，過點B作BD⊥AE，垂足為D．將以點E為圓心，ED為半徑的圓記為⊙E．若點C到⊙E上點的距離的最小值為8，求⊙E的半徑．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）9或.

【解析】

（1）根據勾股定理求出AB的長，再根據△APE∽△BPC得出比例式，整理即可求出結果；

（2）先判斷只有∠EPA=90°時，可使△PAE與△ABC相似，再證明△ABC∽△EAC，進一步根據相似三角形的性質即可求出結果；

（3）先由題意判斷點C必在⊙E外部，于是點C到⊙E上點的距離的最小值為CE﹣DE，再分點E在線段AD上和線段AD的延長線上兩種情況，在△AEC中根據勾股定理列出方程求解即可.

解：（1）∵AE⊥AC，∠ACB=90°，

∴AE∥BC，

∴△APE∽△BPC，

∴，

∵BC=6，AC=8，

∴AB==10，

∵AE=x，AP=y，

∴，

∴；

（2）∵∠ACB=90°，而∠PAE與∠PEA都是銳角，

∴要使△PAE與△ABC相似，只有∠EPA=90°，即CE⊥AB，

此時△ABC∽△ECA，則，∴AE=．

故存在點E，使△ABC∽△EAP，此時AE=；

（3）由題意可知點C必在⊙E外部，此時點C到⊙E上點的距離的最小值為CE﹣DE．

設AE=x．①當點E在線段AD上時，如圖，ED=6﹣x，EC=6﹣x+8=14﹣x，

則在Rt△AEC中，根據勾股定理，得x2+82=（14﹣x）2，解得：x=，

即⊙E的半徑為．

②當點E在線段AD延長線上時，如圖，ED=x﹣6，EC=x﹣6+8=x+2，

則在Rt△AEC中，根據勾股定理，得x2+82=（x+2）2，解得：x=15，即⊙E的半徑為9．

∴⊙E的半徑為9或．