Question

如圖，已知ABCD是一個以AD為直徑的圓內接四邊形，分別延長AB和DC，它們相交于P，若∠APD=60°，AB=5，PC=4，則⊙O的面積為（　�。�

• A、25π
• B、16π
• C、15π
• D、13π

Answer 1

分析：連接AC，由圓周角定理可得出∠ACD=90°，再由圓內接四邊形的性質及三角形內角和定理可求出∠PAC=30°，由直角三角形的性質可求出AP、AC的長，由相似三角形的判定定理及性質可得出CD的長，再根據勾股定理接可求出AD的長，進而求出該圓的面積．

解答：解：連接AC，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
∵∠APD=60°，
∴∠PAC=30°，
∴AP=2PC=2×4=8，
∵AB=5，
∴PB=8-5=3，
∵四邊形ABCD是以AD為直徑的圓內接四邊形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，
∴∠BAD=∠PCB，∠APD=∠APD，
∴△PCB∽△PAD，
∴

PC

AP

=

PB

PD

，即

4

8

=

3

PD

，PD=6，
∴CD=PD-PC=6-4=2，
∴AC=

AP2-PC2

=

82-42

=4

3

，
在Rt△ACD中，AD=

AC2+CD2

=

(4 3 )2+22

=2

13

．
∴OA=

1

2

AD=

13

，
∴⊙O的面積=π×（

13

）²=13π．
故選D．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質、圓內接四邊形的性質、勾股定理，解答此題的關鍵是作出輔助線，構造出直角三角形求解．