Question

如圖，AB是⊙O的弦，D為OA半徑的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交⊙O于點F，且CE=CB．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）連接AF，BF，求∠ABF的度數；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB，有圓的半徑相等和已知條件證明∠OBC=90°即可證明BC是⊙O的切線；
（2）連接OF，AF，BF，首先證明△OAF是等邊三角形，再利用圓周角定理：同弧所對的圓周角是所對圓心角的一半即可求出∠ABF的度數；
（3）過點C作CG⊥BE于點G，由CE=CB，可求出EG=BE=5，又Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的長，進而求出⊙O的半徑．
解答：（1）證明：連接OB
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC
又∵CD⊥OA
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°
∴∠OBA+∠ABC=90°
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切線．

（2）解：連接OF，AF，BF，
∵DA=DO，CD⊥OA，
∴AF=OF，
∵OA=OF，
∴△OAF是等邊三角形，
∴∠AOF=60°
∴∠ABF=∠AOF=30°


（3）解：過點C作CG⊥BE于點G，由CE=CB，
∴EG=BE=5
又∵Rt△ADE∽Rt△CGE
∴sin∠ECG=sin∠A=，
∴CE==13
∴CG==12，
又∵CD=15，CE=13，
∴DE=2，
由Rt△ADE∽Rt△CGE得=
∴AD=•CG=
∴⊙O的半徑為=2AD=．
點評：本題考查了切線的判定和性質，等邊三角形的判定和性質、圓周角定理以及勾股定理和相似三角形的判定和性質，題目的綜合性不小，難度也不小．