Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC與E，交BC與D．求證：
（1）D是BC的中點；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）BC²=2AB•CE．

Answer 1

分析：（1）要證D是BC的中點，已知AB=AC，即證AD⊥BC即可，根據圓周角定理，AB是直徑，所以∠ADB=90°，即可得證．
（2）欲證△BEC∽△ADC，通過觀察發現兩個三角形已經具備一組角對應相等，即∠AEB=∠ADC=90°，此時，再求另一角對應相等即可．
（3）由△BEC∽△ADC可證CD•BC=AC•CE，又D是BC的中點，AB=AC，即可證BC²=2AB•CE．

解答：證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
即AD是底邊BC上的高，（1分）
又∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴D是BC的中點；（3分）

（2）∵∠CBE與∠CAD是

DE

所對的圓周角，
∴∠CBE=∠CAD，（5分）
又∵∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC；（6分）

（3）由△BEC∽△ADC，知

CD

CE

=

AC

BC

，
即CD•BC=AC•CE，（8分）
∵D是BC的中點，
∴CD=

1

2

BC，
又∵AB=AC，
∴CD•BC=AC•CE=

1

2

BC•BC=AB•CE，
即BC²=2AB•CE．（10分）

點評：本題考查相似三角形的判定和性質．識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應邊成比例、對應角相等．