Question

（1999•天津）已知關于x的方程x²-2x+k=0有實數根x₁，x₂，且y=x₁³+x₂³，試問：y值是否有最大值或最小值，若有，試求出其值，若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：若一元二次方程有實數根，則根的判別式△≥0，由此可求出k的取值范圍；依據根與系數的關系，可求出x₁+x₂及x₁x₂的表達式；然后將y的表達式化為含兩根之和與兩根之積的形式，即可得到關于y、k的關系式，聯立k的取值范圍，即可求得y的最小值．
解答：解：∵x²-2x+k=0有實數根，
∴2²-4k≥0；
∴k≤1；（1分）
∵x₁+x₂=2，x₁x₂=k，（2分）
∴y=x₁³+x₂³=（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁x₂]
=2（4-3k）=8-6k，即y=8-6k；（4分）
∵k≤1，∴-6k≥-6，（5分）
∴8-6k≥8-6=2；即y有最小值為2．（6分）
點評：本題綜合考查了根的判別式和根與系數的關系，能夠正確得出關于y、k的關系式是解答此題的關鍵．