Question

（1999•天津）已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象過點A（2，4），頂點的橫坐標為，它的圖象與x軸交于兩點B（x₁，0）、C（x₂，0），與y軸交于點D，且x₁²+x₂²=13．試問：y軸上是否存在點P，使得△POB與△DOC相似（O為坐標原點）？若存在，請求出過P、B兩點直線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：需注意的是，由于本題沒有明確B、C的位置關系，所以要分類討論；由于B、C是拋物線與x軸的交點；根據韋達定理即可求出兩個橫坐標的和與積，進而可根據x₁²+x₂²=13求出第一個關于拋物線系數的等量關系式；將A點坐標代入拋物線的解析式中，可得到第二個關于拋物線系數的等量關系式；再聯立拋物線的對稱軸方程，即可求出待定系數的值，由此可確定拋物線的解析式，進而可求出拋物線與坐標軸的交點坐標；假設拋物線上存在符合條件的P點，使得△POB與△DOC相似，由于這兩個三角形中，∠POB=∠DOC=90°，所以要考慮到兩種情況：①△POB∽△DOC，②△POB∽△COD；根據不同的相似三角形所得到的不同比例線段，可求出P點的坐標，進而可用待定系數法求出直線BP的解析式．
解答：解：∵y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于點B（x₁，0），C（x₂，0），
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=；
又∵x₁²+x₂²=13，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=13，
∴（-）²-2•=13，①
4a+2b+c=4，②
-=．③
解由①、②、③組成的方程組，
得a=-1，b=1，c=6；
∴y=-x²+x+6；（2分）
與x軸交點坐標為（-2，0），（3，0），（3分）
與y軸交點D坐標為（0，6）；（4分）
設y軸上存在點P，使得△POB∽△DOC，則
（1）當B（-2，0），C（3，0），D（0，6）時，
有，OB=2，OC=3，OD=6；
∴OP=4；即點P坐標為（0，4）或（0，-4）；
當P坐標為（0，4）時，可設過P、B兩點直線的解析式為y=kx+4，
有0=2k+4，得k=2；
∴y=2x+4；（4.5分）
當P點坐標為（0，-4）時，可設過P、B兩點直線的解析式為y=kx-4；
有0=-2k-4，
得k=-2；
∴y=-2x-4（5分）
或，OB=2，OD=6，OC=3
∴OP=1，這時P點坐標為（0，1）或（0，-1）；
當P點坐標為（0，1）時，可設過P、B兩點直線的解析式為y=kx+1；
有0=-2k+1，
得k=．
∴y=x+1（5.5分）
當P點坐標為（0，-1）時，可設過P、B兩點直線的解析式為y=kx-1；
有0=-2k-1，
得k=-；（6分）
∴y=-x-1；
（2）當B（3，0），C（-2，0），D（0，6）時，同理可得
y=-3x+9（6.5分）
或y=3x-9（7分）
或y=-x+1（7.5）
或y=x-1．（8分）
點評：此題主要考查了根與系數的關系、一次函數與二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質等重要知識點，要注意的是在遇到相似三角形的對應邊和對應角不明確的情況下，一定要分類討論，以免漏解．