Question

（2001•寧波）⊙O₁，⊙O₂，⊙O₃兩兩外切，切點為A，B，C，它們的半徑分別為r₁，r₂，r₃．
（1）若△O₁O₂O₃是直角三角形，r₂：r₃=2：3，用r₂表示r₁；
（2）若△O₁O₂O₃與以A、B、C為頂點的三角形相似，則r₁，r₂，r₃必須滿足什么條件？請給出證明．此時若r₁，r₂，r₃的和為3cm，用如圖這樣一張四邊形紙片DEFG，能否剪出一個圓形紙片來完全蓋住兩兩外切的⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃這3個圓？如果認為不能，請說明理由；如果認為能，給出這樣的圓形紙片的一種剪法（在四邊形紙片DEFG上面圖表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）因為△O₁O₂O₃是直角三角形，根據⊙O₁，⊙O₂，⊙O₃兩兩外切，得出三邊的長度，結合斜邊的情況，利用勾股定理用r₂表示r₁；
（2）r₁=r₂=r₃時，△O₁O₂O₃與以A、B、C為頂點的三角形相似．
解答：解：
（1）圓心距分別為r₁+r₂，r₁+r₃，r₂+r₃，r₂：r₃=2：3，有r₃=1.5r₂，r₁＞r₃時，
（r₁+r₂）²=（r₁+r₃）²+（r₂+r₃）²，
解得r₁=-7.5r₂（不合題意，舍去），
r₁≤r₃時，（r₁+r₃）²=（r₁+r₂）²+（r₂+r₃）²，
解得r₁=5r₂；

（2）r₁=r₂=r₃時，△O₁O₂O₃與以A、B、C為頂點的三角形相似，能否剪出一個圓形紙片來完全蓋住兩兩外切的⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃這3個圓．
點評：本題考查了三圓兩兩外切的函數問題，同時考查了勾股定理，及三角函數的知識．