Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點，點D與點C關于x軸對稱，點P是線段AB上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q，交直線BD于點M．

（1）求該拋物線所表示的二次函數的表達式；

（2）求證：∠ACB=90°；

（3）在點P運動過程中，是否存在點Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；

（4）連接AC，將△AOC繞平面內某點H順時針旋轉90°，得到△A1O1C1，點A、O、C的對應點分別是點A1、O1、C1、若△A1O1C1的兩個頂點恰好落在拋物線上，那么我們就稱這樣的點為“和諧點”，請直接寫出“和諧點”的個數和點A1的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣+x+2；（2）見解析；（3）Q（3，2）或Q（﹣1，0）；（4）兩個和諧點； A1的橫坐標是1；.

【解析】

（1）把點A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點的坐標代入函數解析式，利用待定系數法求解；

（2）先求出AB、AC、BC的長度，根據勾股定理即可證明;

（3）分兩種情況分別討論，當∠QBM＝90°或∠MQB＝90°，即可求得Q點的坐標．

（4）兩個和諧點；AO＝1，OC＝2，設A1（x，y），則C1（x+2，y﹣1），O1（x，y﹣1），當A1、C1在拋物線上時和O1、C1在拋物線上時，分兩種情況列方程組可得A1的橫坐標.

（1）設拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，

將點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，

∴，∴，

∴；

（2）證明：∵，，， ∴，即∠ACB=90°；

（3）∵點C與點D關于x軸對稱，∴D（0，﹣2）．

設直線BD的解析式為y＝kx﹣2．

∵將（4，0）代入得：4k﹣2＝0，

∴k＝．∴直線BD的解析式為y＝x﹣2．

當P點與A點重合時，△BQM是直角三角形，此時Q（﹣1，0）；

當BQ⊥BD時，△BQM是直角三角形，

則直線BQ的直線解析式為y＝﹣2x+8，

∴，可求x＝3或x＝4（舍）

∴x＝3；

∴Q（3，2）或Q（﹣1，0）；

（4）兩個和諧點；

AO＝1，OC＝2，

設A1（x，y），則C1（x+2，y﹣1），O1（x，y﹣1），

①當A1、C1在拋物線上時，

∴，∴，

∴A1的橫坐標是1；

當O1、C1在拋物線上時，

，∴，

∴A1的橫坐標是.