Question

如圖，已知點A、B、C、D均在已知圓上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四邊形ABCD的周長為10cm．圖中陰影部分的面積為（ ）

A．
B．-
C．2
D．4

Answer 1

【答案】分析：由AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，得到∠1=∠2=∠3=30°，∠B=60°，于是有AB=AD=DC，且∠BAC=90°，得到BC為直徑，設圓心為O，AB=x，則BC=2AB=2x，∠4=2∠1=60°，然后利用四邊形ABCD的周長為10cm，可求出半徑；而S_陰影部分=S_扇形OAD-S_△OAD，利用扇形的面積公式：S=和等邊三角形的面積分別計算它們的面積即可．
解答：解：如圖，
∵AC平分∠BCD，
∴∠1=∠2，
又∵AD∥BC，
∴∠1=∠2=∠3，
而∠ADC=120°，
∴∠1=∠2=∠3=30°，∠B=60°，
∴AB=AD=DC，且∠BAC=90°，
∴BC為直徑，設圓心為O，AB=x，則BC=2AB=2x，∠4=2∠1=60°，
又∵四邊形ABCD的周長為10cm，
∴x+x+x+2x=10，解得x=2，即⊙O的半徑為2，
連OA，OD，
∴S_陰影部分=S_扇形OAD-S_△OAD=-×2²=-．
故選B．
點評：本題考查了扇形的面積公式：S=，其中n為扇形的圓心角的度數，R為圓的半徑），或S=lR，l為扇形的弧長，R為半徑．同時考查了圓周角定理及其推論以及等邊三角形的面積．