Question

已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一個銳角頂點與A重合，將此三角板繞A點旋轉時，兩邊分別交直線BC、CD于M、N．
（1）當M、N分別在邊BC、CD上時（如圖1），求證：BM+DN=MN；
（2）當M、N分別在邊BC、CD所在的直線上時（如圖2），線段BM、DN、MN之間又有怎樣的數量關系，請直接寫出結論______；（不用證明）
（3）當M、N分別在邊BC、CD所在的直線上時（如圖3），線段BM、DN、MN之間又有怎樣的數量關系，請寫出結論并寫出證明過程．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長CB到G使BG=DN，容易證明△AGB≌△AND，由此得到AG=AN而根據∠MAN=45°，∠BAD=90°，可以得到∠GAM=∠NAM=45°，從而證明△AMN≌△AMG，然后根據全等三角形的性質可以證明BM+DN=MN；
（2）BM-DN=MN．在BC上截取BG=DN，連接AG，然后也可以證明△AMN≌△AMG，也根據全等三角形的性質就可以得到結論；
（3）DN-BM=MN．在ND上截取DG=BM，連接AG，首先證明△AMB≌△AGD，再證△AMG為等腰直角三角形，即可．
解答：解：（1）延長CB到G使BG=DN，
∵AB=AD，GB=DN，∠AGB=∠ADN=90°，
∴△AGB≌△AND，
∴AG=AN，∠GAB=∠DAN，
∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，
∴∠GAM=∠GAB+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°，
∴∠GAM=∠NAM，而AM是公共邊，
∴△AMN≌△AMG，
∴MN=GM=BM+GB=MB+DN；

（2）BM-DN=MN；

（3）DN-BM=MN．

證明：如圖3，在ND上截取DG=BM，
∵AD=AB，∠ABM=∠ADN=90°，
∴△ADG≌△ABM，
∴AG=AM，∠MAB=∠DAG，
∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，
∴∠MAG=90°，△AMG為等腰直角三角形，
∴AN垂直MG，
∴AN為MG垂直平分線，
所以NM=NG．
∴DN-BM=MN．
點評：此題是一道把圖形的旋轉變換，全等三角形的判定和正方形的性質結合求解的綜合題．難度大，解題的關鍵是把圖形的變換放在正方形中，利用正方形的性質去探究圖形變換的規律．考查了學生綜合運用數學知識的能力．