Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長與Rt△EFG的直角邊EF的長均為4cm，FG=8cm，AB與FG在同一條直線l上、開始時點F與點B重合，讓Rt△EFG以每秒1cm速度在直線l上從右往左移動，直至點G與點B重合為止．設x秒時Rt△EFG與正方形ABCD重疊部分的面積記為ycm²．
（1）當x=2秒時，求y的值；
（2）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當x=2時，FB=2，根據FG的長可求出BG的值，利用△ECH∽△GBH所得比例線段即可求得BH的長，由于陰影部分是個直角梯形，根據梯形的面積公式即可求解．
（2）此題要根據F點的不位置分情況討論，當F、A重合時，x=4，那么可分兩種情況：
①0＜x≤4時，此種情況與（1）題相同，可按照（1）題的方法，先求得BH的值，然后按梯形的面積公式求解；
②4＜x≤8時，重合部分仍是直角梯形，只不過需要分兩步求出AK、BH的長，方法同上．

解答：解：（1）當x=2時，如圖，
∵△ECH∽△GBH，
∴

EC

BG

=

2

6

=

CH

BH

=

4-BH

BH

，∴BH=3（2分）
∴y=

(3+4)×2

2

=7．（2分）（只要求得y=7可得4分）

（2）同理當0≤x≤4時，

EC

BG

=

x

8-x

=

CH

BH

=

4-BH

BH

，
∴BH=

8-x

2

，（1分）
∴y=

( 8-x 2 +4)x

2

=-

1

4

x2+4x（0≤x≤4）；（2分）
當4＜x≤8時，如圖，
仍有BH=

8-x

2

，
且

KA

EF

=

AG

FG

?

KA

4

=

12-x

8

?KA=

12-x

2

．（1分）
∴y=

( 8-x 2 + 12-x 2 )4

2

=20-2x（4＜x≤8）．（2分）
（各解析式（2分）、取值范圍（1分）；不等號寫≤或＜淡化要求，不扣分）

點評：此題主要考查了正方形的性質、相似三角形的判定和性質以及梯形面積的計算方法，同時還考查了分類討論的數學思想，難度適中．