Question

【題目】（1）如圖1，在△ABC中，點M為BC邊的中點，且MA＝BC，求證：∠BAC＝90°．

（2）如圖2，直線a、b相交于點A，點C、E分別是直線b、a上兩點，ED⊥b，垂足為點D，點M是EC的中點，MD＝MB，DE＝2，BC＝3，求△ADE和△ABC的面積之比．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據點M為BC的中點，得到BM＝CM＝BC．又MA＝BC，根據等量代換得到BM＝CM＝MA，根據等邊對等角有∠BAM＝∠B，∠CAM＝∠C，又∠BAM+∠B+∠CAM+∠C＝180°，即可得到∠BAM+∠CAM＝90°，即可證明.

（2）根據（1）的結論，可得∠EBC＝90°，即可證明△ADE∽△ABC，根據相似三角形的性質即可解答.

（1）證明：∵點M為BC的中點，

∴BM＝CM＝BC．

∵MA＝BC，

∴BM＝CM＝MA，

∴∠BAM＝∠B，∠CAM＝∠C，

∴∠BAM+∠B+∠CAM+∠C＝180°，

∴2∠BAM+2∠CAM＝180°，

∴∠BAM+∠CAM＝90°，即∠BAC＝90°．

（2）解：∵點M為EC的中點，ED⊥AC于點D，

∴DM＝EC．

∵BM＝DM，

∴BM＝EC，

∴∠EBC＝90°．

∴∠ADE＝∠ABC＝90°．

又∵∠DAE＝∠BAC，

∴△ADE∽△ABC，

∴