Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE=AF．

（1）求證：BE=DF；

（2）連接AC交EF于點O，延長OC至點M，使OM=OA，連接EM，FM，判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結論．

Answer 1

【考點】菱形的判定；全等三角形的判定與性質；正方形的性質．

【專題】幾何綜合題．

【分析】（1）求簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即證△ABE≌△ADF；

（2）由于四邊形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；聯立（1）的結論，可證得EC=CF，根據等腰三角形三線合一的性質可證得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，則EF、AM互相平分，再根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可判定四邊形AEMF是菱形．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠B=∠D=90°，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

∵，

∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）

∴BE=DF；

 

（2）解：四邊形AEMF是菱形，理由為：

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的對角線平分一組對角），

BC=DC（正方形四條邊相等），

∵BE=DF（已證），

∴BC﹣BE=DC﹣DF（等式的性質），

即CE=CF，

在△COE和△COF中，

，

∴△COE≌△COF（SAS），

∴OE=OF，又OM=OA，

∴四邊形AEMF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），

∵AE=AF，

∴平行四邊形AEMF是菱形．

【點評】本題主要考查對正方形的性質，平行四邊形的判定，菱形的判定，平行線分線段成比例定理，全等三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．