Question

如圖所示，直線AB與⊙O相切于點P，點C為線段OP上一點，PC=1，過點C的直線MN∥AB且分別交⊙O于點M、N，MN=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：連接OM．由切線AB的性質知OP⊥AB，即∠OPA=90°；又根據平行線MN∥AB的性質推知∠OCM=90°，然后利用垂徑定理知CM=CN=MN；最后在Rt△OCM中利用勾股定理求⊙O的半徑OM．
解答：解：連接OM．
∵直線AB與⊙O相切于點P，
∴OP⊥AB，∴∠OPA=90°． （2分）
∵AB∥MN∴∠OCM=90°，（3分）
∴，（5分）
設OM=x，則OC=x-1．
在Rt△OCM中，OC²+MC²=OM²，（x-1）²+2²=x²．（7分）
解得x=2.5．
所以⊙O的半徑為2.5．（8分）
點評：本題綜合考查了切線的性質、勾股定理．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．