Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm,AC=4cm,動點P從點A出發，沿AB方向以1cm/s的速度向點B運動，動點Q從點B同時出發，沿BA方向以1cm/s的速度向點A運動．當點P到達點B時，P, Q兩點同時停止運動．以AP為一邊向上作正方形APDE，過點Q作QF∥BC,交AC于點F.設點P的運動時間為,正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面積為cm．

（1）當=_____s時，點P與點Q重合；

（2）當為多少時，點D在QF上；

（3）是否存在某一時刻，使得正方形APDE的面積被直線QF平分？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）.

【解析】

（1）當點P與點Q重合時，此時AP＝BQ＝t，且AP＋BQ＝AB＝2，由此列一元一次方程求出t的值；

（2）當點D在QF上時，如圖1所示，此時AP＝BQ＝t．由相似三角形比例線段關系可得PQ＝t，從而由關系式AP＋PQ＋BQ＝AB＝2，列一元一次方程求出t的值；

（3）當點P在Q，B兩點之間運動（不包括Q，B兩點），1＜t≤時，如答圖3所示，此時重合部分為梯形PDGQ．先計算梯形各邊長，然后利用梯形面積公式求出S；由題意知，當1＜t≤時，正方形APDE的面積被直線QF平分，列出方程，求出時間t．

解：（1）當點P與點Q重合時，AP＝BQ＝t，且AP＋BQ＝AB＝2，

∴t＋t＝2，解得t＝1s，

故答案：1．

（2）當點D在QF上時，如圖1所示，此時AP＝BQ＝t．

∵QF∥BC，APDE為正方形，

∴△PQD∽△ABC，

∴DP：PQ＝AC：AB＝2，

則PQ＝DP＝AP＝t．

由AP＋PQ＋BQ＝AB＝2，得t＋t＋t＝2，
解得：t＝．

故答案：．

（3）當P、Q重合時，由（1）知，此時t＝1；當D點在BC上時，如圖2所示，此時AP＝BQ＝t，BP＝t，求得t＝s，因此當P點在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點），且1＜t≤時，如圖3所示，此時重合部分為梯形PDGQ．此時AP＝BQ＝t，
∴AQ＝2t，PQ＝APAQ＝2t2；

易知△ABC∽△AQF，
可得AF＝2AQ，EF＝2EG．
∴EF＝AFAE＝2（2t）t＝43t，EG＝EF＝2t，
∴DG＝DEEG＝t（2t）＝t2．
S＝S梯形PDGQ＝（PQ＋DG）PD，
＝[（2t2）＋（t2）]t，
＝；

由題意知，當1＜t≤時，正方形APDE的面積被直線QF平分，

∴

解得：

故答案為：