Question

如圖，BC是⊙O的直徑，AB、AD是⊙O的切線，切點分別為B、P，過C點的切線與AD交于點D，連接AO、DO．
求證：△ABO∽△OCD．

Answer 1

證明：連接OP，
∵A點切線BA和AD的交點，D點為過C點的切線和切線AD的交點，
∴△ABO≌△APO，△COD≌△POD，
∴2∠DOP+2∠AOP=180°，
∴∠AOD=90°，
∴∠AOB+∠COD=90°，
∵∠AOB+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠DOC，
∵∠ABO=∠OCD=90°，
∴△ABO∽△OCD．
分析：根據切線的性質可以判定△ABO≌△APO，△COD≌△POD，進而可以求證∠OAB=∠DOC，即可求證△ABO∽△OCD，即可解題．
點評：本題考查了切線的性質，相似三角形的證明，全等三角形對應角相等的性質，本題中根據切線的性質判定△ABO≌△APO，△COD≌△POD是解題的關鍵．