Question

【題目】如圖1，P（m，n）是拋物線y=-1上任意一點，l是過點（0，-2）且與x軸平行的直線，過點P作直線PH⊥l，垂足為H．

【探究】

（1）填空：當m=0時，OP= ，PH= ；當m=4時，OP= ，PH= ；

【證明】

（2）對任意m，n，猜想OP與PH的大小關系，并證明你的猜想．

【應用】

（3）如圖2，已知線段AB=6，端點A，B在拋物線y=-1上滑動，求A，B兩點到直線l的距離之和的最小值．

Answer 1

【答案】（1）OP=1，PH=1；OP=5，PH=5．（2）OP=PH．證明見解析．（3）6．

【解析】

試題（1）m記為P點的橫坐標．m=0時，直接代入x=0，得P（0，-1），則OP，PH長易知．當m=4時，直接代入x=4，得P（4，3），OP可有勾股定理求得，PH=yP-（-2）．

（2）猜想OP=PH．證明時因為P為所有滿足二次函數y=-1的點，一般可設（m，-1）．類似（1）利用勾股定理和PH=yP-（-2）可求出OP與PH，比較即得結論．

（3）考慮（2）結論，即函數y=-1的點到原點的距離等于其到l的距離．要求A、B兩點到l距離的和，即A、B兩點到原點的和，若AB不過點O，則OA+OB＞AB=6，若AB過點O，則OA+OB=AB=6，所以OA+OB≥6，即A、B兩點到l距離的和≥6，進而最小值即為6．

試題解析：（1）解：OP=1，PH=1；OP=5，PH=5．

如圖1，記PH與x軸交點為Q，

當m=0時，P（0，-1）．此時OP=1，PH=1．

當m=4時，P（4，3）．此時PQ=3，OQ=4，

∴OP==5，PH=yP-（-2）=3-（-2）=5．

（2）猜想：OP=PH．

證明：過點P作PQ⊥x軸于Q，

∵P在二次函數y=-1上，

∴設P（m，-1），則PQ=|-1|，OQ=|m|，

∵△OPQ為直角三角形，

∴OP=，

PH=yP-（-2）=（-1）-（-2）=，

∴OP=PH．

（3）解：如圖2，連接OA，OB，過點A作AC⊥l于C，過點B作BD⊥l于D，此時AC即為A點到l的距離，BD即為B點到l的距離．

①當AB不過O點時，連接OA，OB，

在△OAB中，OA+OB＞AB=6，

由上述結論得：AC=OA，BD=OB，

∴AC+BD＞6；

②當AB過O點時，AC+BD=OA+OB=AB=6，

所以AC+BD的最小值為6，

即A，B兩點到直線l的距離之和的最小值為6．