Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，點E是BC上一個動點（點E與B、C不重合），連AE，若a、b滿足，且c是不等式組的最大整數(shù)解．
（1）求a，b，c的長；
（2）若AE平分△ABC的周長，求∠BEA的大小；
（3）是否存在線段AE將三角形ABC的周長和面積同時平分？若存在，求出BE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）解方程組
得：，
解不等式組，
解得：-4≤x＜11，
∵滿足-4≤x＜11的最大正整數(shù)為10，
∴c=10，∴a=8，b=6，c=10；

（2）∵AE平分△ABC的周長，△ABC的周長為24，
∴AB+BE=×24=12，
∴EC=6，BE=2，
∴AC=CE=6，
∴△AEC為等腰直角三角形，
∴∠AEB=45°，∠BEA=135°；

（3）不存在．
∵當(dāng)AE將△ABC分成周長相等的△AEC和△ABE時，EC=6，BE=2，
此時，△AEC的面積為：，
△ABE的面積為：面積不相等，
∴AE平分△ABC的周長時，不能平分△ABC的面積，
同理可說明AE平分△ABC的面積時，不能平分△ABC的周長．
分析：（1）根據(jù)二元一次方程組的解法得出a，b的值，再利用不等式組的解法得出x的取值范圍，進(jìn)而得出c的值；
（2）利用（1）中所求以及等腰直角三角形的性質(zhì)得出AC=CE，進(jìn)而得出答案；
（3）分別根據(jù)AE平分三角形ABC的周長和平分面積時不能同時符合要求進(jìn)而得出答案．
點評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及二元一次方程組的解法和不等式組的解法等知識，進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．