Question

15．如圖，在四邊形紙片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，將紙片沿過點D的直線折疊，使點C落在AD上的點C′處，折痕DE交BC于點E，連結C′E．
（1）判斷四邊形CDC′E是什么四邊形，說明理由；
（2）四邊形ABCD滿足什么條件，四邊形CDC′E是正方形，說明理由．

Answer 1

分析 （1）依題意∠C′DE=∠CDE，CD=C′D，CE=C′E，又AD∥BC，則∠C′DE=∠DEC，則∠DEC=∠CDE，則CD=CE，則四邊相等，可得四邊形CDC′E是菱形；
（2）根據有一內角為直角的菱形是正方形進行解答．

解答 （1）證明：依題意∠C′DE=∠CDE，CD=C′D，CE=C′E，
∵AD∥BC，
∴∠C′DE=∠DEC．
∴∠DEC=∠CDE．
∴CD=CE．
故CD=CE=C′D=C′E，四邊形CDC′E是菱形．

（2）解：當四邊形ABCD是直角梯形且∠ADC=90°時，四邊形CDC′E是正方形．理由如下：
∵由（1）知，四邊形CDC′E是菱形，
∴當∠ADC=90°，即∠C′DC=90°時，四邊形CDC′E是正方形．

點評 本題考查了正方形的判定，翻折變換（折疊問題）．解題時，需要掌握菱形與正方形間的關系．